Question

6．直线1：x+y=t与圆O：x²+y²=20交于点A，B，且S_△OAB为整数，则所有满足条件的正整数t的和为8．

Answer 1

分析 联立方程得到方程组，消元得到2x²-2tx+t²-20=0，由韦达定理表示S_△OAB，利用S_△OAB为整数，t是正整数，求出t，即可求出所有满足条件的正整数t的和．

解答 解：联立直线x+y=t与圆O：x²+y²=20，消掉y并整理得：2x²-2tx+t²-20=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理得：x₁+x₂=t，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-20}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{t}^{2}-4•\frac{{t}^{2}-20}{2}}$，
圆心到直线的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•$\sqrt{{t}^{2}-4•\frac{{t}^{2}-20}{2}}$•$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|t|}{2}\sqrt{40-{t}^{2}}$，
∵S_△OAB为整数，t是正整数，
∴t=2，6，
∴所有满足条件的正整数t的和为8．
故答案为：8．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理的运用，属基础题．