Question

1．求曲线C₁：y=$\frac{1}{x}$与曲线C₂：y═-x²的公切线方程．

Answer 1

分析 设出两切点，分别求出两函数的导数，切线的斜率，可得切线的方程，再由公切线的概念，解方程即可得到所求．

解答 解：设与曲线C₁：y=$\frac{1}{x}$相切的切点为（m，$\frac{1}{m}$），
与曲线C₂：y=-x²的相切的切点为（n，-n²），
由y=$\frac{1}{x}$的导数为y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，可得切线斜率为k₁=-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
即有切线的方程为y-$\frac{1}{m}$=-$\frac{1}{{m}^{2}}$（x-m），即为y=-$\frac{1}{{m}^{2}}$x+$\frac{2}{m}$；
由y=-x²的导数为y′=-2x，可得切线的斜率为k₂=-2n，
即有切线的方程为y+n²=-2n（x-n），即为y=-2nx+n²．
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{-2n=-\frac{1}{{m}^{2}}}\\{{n}^{2}=\frac{2}{m}}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{2}$，n=2，即有公切线的方程为y=4-4x．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．