Question

16．在△ABC中个，求证：a²sin2B+b²sin2A=2absinC．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理、三角恒等变换化简等式的左边为8R²sinAsinBsinC，利用正弦定理化简等式的右边也等于8R²sinAsinBsinC，从而得出结论．

解答 证明：在△ABC中，由正弦定理可得 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，
可得：左边=a²sin2B+b²sin2A
=2R²（2sin²2Asin2B+2sin²Bsin2A）
=2R²[（1-cos2A）sin2B+（1-cos2B）sin2A]
=2R²[sin2B+sin2A-（sin2Bcos2A+cos2Bsin2A）]
=2R²[sin2B+sin2A-sin（2A+2B）]
=2R²[2sin（A+B）cos（A-B）-2sin（A+B）cos（A+B）]
=4R²sin（A+B）[cos（A-B）-cos（A+B）]
=4R²sin（A+B）[2sinAsinB]
=8R²sinAsinBsinC
=2absinC=右边．
故原题得证．

点评 本题主要考查正弦定理及应用，注意边化为角，考查二倍角的正弦以及两角和的正弦公式，考查运算化简能力，属于基础题．