Question

2．已知f（x）=x³-3x+2m，在区间$[{\frac{1}{3}，3}]$上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（　　）

• A． m＞6
• B． m＞9
• C． m＞11
• D． m＞12

Answer 1

分析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间$[{\frac{1}{3}，3}]$上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．

解答 解：由f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0得到x₁=1，x₂=-1（舍去）
∵函数的定义域为$[{\frac{1}{3}，3}]$，
∴函数在（$\frac{1}{3}$，1）上f′（x）＜0，（1，3）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（$\frac{1}{3}$，1）单调递减，在区间（1，3）单调递增，
则f（x）_min=f（1）=2m-2，f（3）=2m+18，f（$\frac{1}{3}$）=2m-$\frac{26}{27}$，f（3）＞f（$\frac{1}{3}$），f（x）_max=f（3）=2m+18
由题意知，f（1）=2m-2＞0  ①；
f（1）+f（1）＞f（3），即-4+4m＞18+2m②
由①②得到m＞11为所求．
故选：C．

点评 本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[$\frac{1}{3}$，3]上的最小值与最大值，考查导数的综合应用．