Question

12．甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如表：

车型 概率 人	A	B	C
甲	$\frac{1}{5}$	p	q
乙	/	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$

若甲、乙都选C类车型的概率为$\frac{3}{10}$．
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；
（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：

车型	A	B	C
补贴金额（万元/辆）	3	4	5

记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由相互独立事件同时发生概率乘法公式和概率分布列性质列出方程组能求出p，q．
（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出甲、乙选择不同车型的概率．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}q=\frac{3}{10}}\\{p+q+\frac{1}{5}=1}\end{array}\right.$，
解得p=$\frac{2}{5}$，q=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）设“甲、乙选择不同车型”为事件A，
则P（A）=$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$=$\frac{3}{5}$．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为7，8，9，10，
P（X=7）=$\frac{1}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{2}{25}$，
P（X=8）=$\frac{1}{5}×\frac{3}{5}+\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{7}{25}$，
P（X=9）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{10}{25}$，
P（X=10）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{6}{25}$，
∴X的分布列为：

X	7	8	9	10
P	$\frac{2}{25}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{10}{25}$	$\frac{6}{25}$

EX=$7×\frac{2}{25}+8×\frac{7}{25}+9×\frac{10}{25}+10×\frac{6}{25}$=$\frac{44}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量 的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．