Question

7．下列说法：
①已知$\overrightarrow{e}$是单位向量，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|，则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影为$\frac{1}{2}$；
②关于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立，则a的取值范围是a＜2$\sqrt{2}$；
③函数f（x）=alog₂|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；
④将函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=sin2x的图象
⑤在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；
其中正确的命题序号是①⑤（填出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 把已知的向量等式两边平方，求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影为$\frac{1}{2}$；利用对勾函数的单调性求出sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值判断②；举例说明③错误；利用函数的图象平移判断④；由已知结合正弦定理判断⑤．

解答 解：①$\overrightarrow{e}$是单位向量，由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{e}$|，两边平方得，
${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+1={\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+4$，整理得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}=\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{e}$方向上的投影为$\frac{1}{2}$，故①正确；
②∵sin²x∈（0，1]，∴sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$的最小值为3，
则关于x的不等式a＜sin²x+$\frac{2}{si{n}^{2}x}$恒成立时，a的取值范围是a＜3，故②错误；
③当a=1，b=-1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错误；
④将函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，故④错误；
⑤在△ABC中，由正弦定理知$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$，
若A＜B，则有a＜b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＜sinB成立，故⑤正确．
故答案为：①⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量在向量方向上的投影，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了三角函数的图象平移，是中档题．