Question

2．设函数f（x）=ax²+bx+1（a≠0、b∈R），若f（-1）=0，且对任意实数x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求实数a、b的值；
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．
（3）求f（x）在x∈[t，t+2]的最大值h（t）．

Answer 1

分析 （1）根据f（-1）=0，△≤0，解出即可；（2）先求出函数f（x）的表达式，根据函数的单调性求出k的范围即可；（3）通过讨论t的范围，结合函数的单调性求出h（t）．

解答 解：（1）由题意可得f（-1）=a-b+1=0，即b=a+1．…（1分）
再根据△=b²-4a=（a-1）²≤0，且 a＞0，…（3分），求得a=1，b=2．…（4分）
（2）由（1）可得f（x）=x²+2x+1，故g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的图象的对称轴方程为x=$\frac{k-2}{2}$．…（5分）
再由当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，可得 $\frac{k-2}{2}$≤-2，或 $\frac{k-2}{2}$≥2，…（7分），求得k≤-2，或 k≥6．…（8分）
（3）∵f（x）=（x+1）²，x∈[t，t+2]，
∴当$\frac{t+t+2}{2}$≤-1时，即t≤-2时，f（x）_max=f（t）=（t+1）²，
当$\frac{t+t+2}{2}$＞-1时，即t＞-2时，f（x）_max=f（t+2）=（t+3）²，
∴h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{（t+1）}^{2}，t≤-2}\\{{（t+3）}^{2}，t＞-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考察了二次函数的性质，考察函数的单调性、最值问题，考察分类讨论思想，是一道中档题．