Question

10．已知定义域为R的函数f（x）满足：①x∈（0，1]时，f（x）=2^x-1；②对任意x∈R均有f（x+1）=2f（x）．定义[x]是不超过x的最大整数，如[-0.1]=-1，[1.2]=1，g（x）=$\frac{[x]}{x}$．
（1）求f（2）的值；
（2）求函数f（x）在（1，2]上的解析式；
（3）设不等式f（x）≤8在区间（-∞，a]上恒成立时a的最大值为M，且函数h（x）=g（x）-t（x∈（0，M]）仅有三个零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=1代入f（x+1）=2f（x），再计算出f（1）即可；
（2）根据f（x+1）=2f（x）及x∈（0，1]时，f（x）=2^x-1，可以得出x∈（1，2]时，f（x）=2^x-2；
（3）分别求出x∈（2，3]，（3，4]，（4，5]的函数解析式，根据f（x）≤8得出M=4，再画出g（x）在（0，4]内的函数图象，运用数形结合求出t的取值范围；

解答 解：（1）根据题意，因为，x∈（0，1]时，f（x）=2^x-1，
且对任意x∈R均有f（x+1）=2f（x），
所以，令x=1代入上式得，
f（2）=2f（1）=2（2¹-1）=2；
（2）因为，f（x+1）=2f（x），
所以，f（x）=2f（x-1），
当x∈（1，2]时，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-1）=2^x-2，
即x∈（1，2]时，f（x）=2^x-2；
（3）由（2）知，x∈（1，2]时，f（x）=2^x-2≤2恒成立，
当x∈（2，3]时，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-2）=2^x-4≤4恒成立，
当x∈（3，4]时，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-4）=2^x-8≤8恒成立，
当x∈（4，5]时，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-8）=2^x-16≤16恒成立，
由于不等式f（x）≤8在区间（-∞，a]上恒成立时a的最大值为M，所以M=4，
当x∈（0，4]时，g（x）=$\frac{[x]}{x}$的图象如右图所示：
显然，方程g（x）=1在（0，4]内有四个根，g（x）=$\frac{3}{4}$在（0，4]内有两个根，
因此，要使h（x）=g（x）-t有三个零点，则t∈（$\frac{3}{4}$，1），
即实数t的取值范围为：（$\frac{3}{4}$，1）．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法以及函数值的确定，函数零点的判断，涉及抽象函数的图象和性质以及数形结合的解题思想，属于难题．