Question

3．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log₂x）=6，则不等式f（a²+a）＞5的解集为（　　）

• A． {a|a＞1}
• B． {a|a＜-2或a＞1}
• C． {a|-2＜a＜1}
• D． {a|a＜-2}

Answer 1

分析 由题意可得f（x）-log₂x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，由不等式f（a²+a）＞5，得${log}_{2}^{{a}^{2}+a}$＞1=${log}_{2}^{2}$，解出即可．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，
由不等式f（a²+a）＞5，
得：4+${log}_{2}^{{a}^{2}+a}$＞5，
∴${log}_{2}^{{a}^{2}+a}$＞1=${log}_{2}^{2}$，
∴a²+a＞2，解得：a＞1或a＜-2，
故选：B．

点评 本题考查求函数的表达式问题，考察转化思想，属中档题