Question

9．已知等差数列{a_n}满足，若${a_2}^2+{a_5}^2=5$，则S₇的最大值是$\frac{35}{3}$．

Answer 1

分析 设a₂=$\sqrt{5}cosθ$，a₅=$\sqrt{5}sinθ$，0≤θ＜2π，求出公差d，首项，再由等差数列的求和公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：由a₂²+a₅²=5，
可设a₂=$\sqrt{5}cosθ$，a₅=$\sqrt{5}sinθ$，0≤θ＜2π，
则公差d=$\frac{1}{3}$（a₅-a₂）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（sinθ-cosθ），
a₁=a₂-d=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosθ-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinθ，
则S₇=7a₁+$\frac{7}{2}$×6d=7（$\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosθ-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinθ）+7$\sqrt{5}$（sinθ-cosθ）
=$\frac{7\sqrt{5}}{3}$（cosθ+2sinθ）=$\frac{35}{3}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ）
=$\frac{35}{3}$sin（θ+φ），（其中tanφ=$\frac{1}{2}$，φ在第一象限），
当θ+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，取得最大值$\frac{35}{3}$，
故答案为：$\frac{35}{3}$．

点评 本题考查等差数列的求和公式和通项公式的运用，考查最值的求法，注意运用三角换元法，以及正弦函数的值域，属于中档题