Question

4．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=$\frac{1}{4}$，且a₁，a₂，a₄成等比数列．求：
（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用a₁=$\frac{1}{4}$且a₁，a₂，a₄成等比数列列出表达式计算可知数列{a_n}是首项、公差均为$\frac{1}{4}$的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=16（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则d≠0，
∵a₁=$\frac{1}{4}$，且a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴（$\frac{1}{4}$+d）²=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{4}$+3d），
整理得：d（1+4d）=0，
解得：d=$\frac{1}{4}$或d=0（舍），
∴数列{a_n}是首项、公差均为$\frac{1}{4}$的等差数列，
∴其通项公式a_n=$\frac{n}{4}$；
（2）由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{16}{n（n+1）}$=16（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=16（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=16（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{16n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．