Question

14．设函数f（x）=lnx+x-a（a∈R），若存在b∈[1，e]（e使自然对数的底数），使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [1，e+1]
• B． [1，e]
• C． [0，1]
• D． [0，e]

Answer 1

分析 根据函数f（x）=lnx+x-a（a∈R）在[1，e]上单调递增，证得f（b）=b，令函数f（x）=x，求得a的解析式，可得a的范围．

解答 解：因为函数f（x）=lnx+x-a（a∈R）在[1，e]上单调递增．
下面证明f（b）=b：
假设f（b）=c＞b，则f（f（b））=f（c）＞f（b）=c＞b，不满足f（f（b））=b；
同理假设f（b）=c＜b，也不满足f（f（b））=b，
综上，f（b）=b．
令函数f（x）=lnx+x-a=x，得a=lnx∈[0，1]．
故选：C．

点评 本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的单调性的应用，属于中档题．