Question

7．设数列{a_n}的首项a₁=1，且2a_n+1=a_n+$\frac{1-n}{n（n+1）}$，则a_n=${2}^{2-n}-\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 由数列递推式可得数列{${a}_{n}+\frac{1}{n}$}是以2为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，由此求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由2a_n+1=a_n+$\frac{1-n}{n（n+1）}$，得${a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}$，
即${a}_{n+1}+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2}（{a}_{n}+\frac{1}{n}）$，
又a₁=1，
∴数列{${a}_{n}+\frac{1}{n}$}是以2为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则${a}_{n}+\frac{1}{n}$=2$•\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2^2-n，
∴${a}_{n}={2}^{2-n}-\frac{1}{n}$．
故答案为：${2}^{2-n}-\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．