Question

17．已知圆C：x²+y²-8y+14=0，直线l过点（1，1）
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）当l与圆C交于不同的两点A，B，且|AB|=2时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）确定圆心与半径，利用直线l与圆C相切，分类讨论，即可求直线l的方程；
（2）由${d^2}+{1^2}={（\sqrt{2}）^2}$，得d=1，分类讨论，即可求出直线l的方程．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-8y+14=0，配方，得x²+（y-4）²=2，
圆心C（0，4），半径$r=\sqrt{2}$，
①当直线l的斜率不存在时，l：x=1，此时l不与圆相切．    2分
②若直线l的斜率，设l：y-1=k（x-1），由$d=\frac{{|{3+k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{2}$得k=7或-1，（4分）
所以直线方程为7x-y-6=0或x+y-2=0（6分）
（2）由${d^2}+{1^2}={（\sqrt{2}）^2}$，得d=1，
①若当直线l的斜率不存在时，l：x=1，满足题意      （8分）
②若直线l的斜率存在，设l：y-1=k（x-1）由${（\frac{{|{3+k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}）^2}+1=2$
得$k=-\frac{4}{3}$，此时l：4x+3y-7=0x=1（10分）
综上所述l方程为x=1或4x+3y-7=0（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．