Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（-sinα，cosα），$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0．
（1）求函数k=f（t）的表达式；
（2）若t∈[-1，3]，求f（t）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积运算和三角函数公式可得；
（2）由二次函数区间的最值可得．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosα，2sinα），$\overrightarrow{b}$=（-sinα，cosα），$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=4cos²α+4sin²α=4，${\overrightarrow{b}}^{2}$=cos²α+sin²α=1，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2cosαsinα+2sinαcosα=0
∴$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=-k${\overrightarrow{a}}^{2}$+（t²-3）${\overrightarrow{b}}^{2}$+（1+3k-kt²）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-4k+（t²-3）=0，
∴k=f（t）=$\frac{1}{4}$（t²-3）；
（2）由二次函数可知，f（t）=$\frac{1}{4}$（t²-3）图象为开口向上的抛物线，
对称轴为t=0，故当t=0时，函数取最小值-$\frac{3}{4}$，
当t=3时，函数取最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角函数的运算，涉及平面向量的数量积和二次函数区间的最值，属基础题．