Question

3．定义在 R 上的函数 f （x）对任意0＜x₂＜x₁都有f（x₁）-f（x₂）＜0，且函数y=f （x）的图象关于原点对称，若 f（2）=0，则不等式 f （x）＞0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（0，2）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据条件先判断函数的单调性和奇偶性，然后根据函数单调性的性质解不等式即可．

解答 解：∵定义在 R 上的函数 f （x）对任意0＜x₂＜x₁都有f（x₁）-f（x₂）＜0，
即定义在 R 上的函数 f （x）对任意0＜x₂＜x₁都有f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵函数y=f （x）的图象关于原点对称，
∴函数f（x）为奇函数，
∵f（2）=0，
∴f（-2）=f（2）=0，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数 f （x）＞0的解集（-∞，-2）∪（0，2），
故选：C．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数取值的变化即可求出不等式的解集，考查函数性质的综合应用．