Question

5．如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是（　　）

• A． 此多面体的表面积为$\frac{47}{8}$a²
• B． 体对角线AC₁垂直于截面
• C． 截面平行于平面CB₁D₁
• D． 有10个顶点

Answer 1

分析 分别求出所得多面体的表面积，顶点个数，并判断截面与体对角线AC₁及平面CB₁D₁的位置关系，可得答案．

解答 解：棱长为a的正方体按题意所截得的多面体的表面积S=$6{a}^{2}-3×\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}a）^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$=$\frac{45+\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$，故A错误；
根据正方体的几何特征可得：截面平行于平面CB₁D₁，故C正确；
由体对角线AC₁垂直于平面CB₁D₁，可得体对角线AC₁垂直于截面，故B正确；
截面切除了一个A顶点，产生了三个顶点，故所得多面体有10个顶点，故D正确；　
故选：A．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，多面体的表面积运算，难度中档．