Question

20．长度为2的线段AB的两个端点在等轴双曲线x²-y²=8的两条渐近线上运动，记线段AB的中点为M，双曲线的右焦点为F，则|MF|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 8$\sqrt{2}$-1
• D． 3

Answer 1

分析 由双曲线方程求出渐近线方程、F的坐标，由题意不妨设A（x₁，x₁）、B（x₂，-x₂）、M（x，y），由中点坐标公式求出x、y，由两点间的距离公式列出方程，代入并化简并判断出点M的轨迹，再求出|MF|的最小值．

解答 解：由题意得，双曲线x²-y²=8的两条渐近线方程是y=±x，
右焦点F的坐标是（4，0），
不妨设A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），
则x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$，y=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{2}$，
由|AB|=2得，${（{x}_{1}-{x}_{2}）}^{2}$+${（{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}$=4，
则（2y）²+（2x）²=4，即x²+y²=1，
所以线段AB的中点M的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆，
所以|MF|的最小值为4-1=3，
故选：D．

点评 本题考查求双曲线标准方程与简单几何性质，两点间的距离公式，以及动点的轨迹方程以及轨迹，考查了转化思想，以及化简、变形能力．