Question

9．某公司现生产一批产品，次品率为5%，现对100个样品进行检验，随机抽取2个样品，其中随机变量X表示2个样品中次品的个数．
（1）求至少有一个样品都是次品的概率；
（2）求随机变量X的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）至少有一个样品都是次品的概率P=P（X=2）+P（X=1），由此能求出结果．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）由题意P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{1}{495}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{95}^{1}}{{C}_{100}^{2}}$=$\frac{19}{198}$，
∴至少有一个样品都是次品的概率：
P=P（X=2）+P（X=1）=$\frac{97}{990}$．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=1-P（X=2）-P（X=1）=$\frac{893}{990}$，
则X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{893}{990}$	$\frac{19}{198}$	$\frac{1}{495}$

E（X）=$0×\frac{893}{990}+1×\frac{19}{198}+2×\frac{1}{495}$=$\frac{1}{10}$．…（10分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．