Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-3，x≤1}\\{xlnx-kx+2k，x＞1}\end{array}\right.$在R上为增函数，则实数k的取值范围为[-2，1]．

Answer 1

分析 若f（x）在R上是增函数，则f（x）的每一段都是增函数，且第一段的最大值小于或等于第二段的最小值．列出不等式解出．

解答 解：当x＞1时，f′（x）=lnx+1-k，∴lnx+1-k≥0在（1，+∞）上恒成立，∴1-k≥0，解得k≤1．
当x≤1时，f（x）≤-2，当x＞1时，f（x）＞k，∵f（x）在R上是增函数，∴k≥-2，
综上，-2≤k≤1．
故答案为[-2，1]．

点评 本题考查了分段函数单调性的应用，属于中档题．