Question

10．三棱锥P-ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，则该三棱锥的外接球表面积为6π．

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．

解答 解：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设PA=a，PB=b，PC=c，
则$\frac{1}{2}$ab=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{1}{2}$bc=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{1}{2}$ca=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
解得，a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$．
则长方体的对角线的长为$\sqrt{6}$．
所以球的直径是$\sqrt{6}$，半径长R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则球的表面积S=4πR²=6π，
故答案为：6π．

点评 本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．