Question

5．g（x）的定义域为R，且满足g（x）+xg′（x）-g′（x）＜0，则y=g（x）的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． 2
• D． 0或2

Answer 1

分析 构造f（x）=（x-1）g（x），则f′（x）＜0，然后根据x与1的关系讨论g（x）的符号．

解答 解：令f（x）=（x-1）g（x）=xg（x）-g（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x）-g′（x）＜0，∴f（x）是减函数．
∵f（1）=0，∴当x＜1时，f（x）=（x-1）g（x）＞0，∴g（x）＜0；
当x＞1时，f（x）=（x-1）g（x）＜0，∴g（x）＜0；
∵g（x）+xg′（x）-g′（x）＜0，∴g（1）+g′（1）-g′（1）＜0，即g（1）＜0．
综上，g（x）＜0，∴g（x）无零点．
故选：B．

点评 本题考查了函数的导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，构造合适的函数是解题关键，属于中档题．