Question

17．如图所示，M、N、K分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中点．求证：
（1）AN∥平面A₁MK；
（2）MK⊥平面A₁B₁C．

Answer 1

分析 （1），要证明AN∥平面A₁MK，只需证明AN平行于平面A₁MK内的一条直线，容易证明AN∥A₁K，从而得证；
（2），要证明平面A₁B₁C⊥MK，只需证明BC₁⊥平面A₁B₁C，BC₁∥MK即可，从而问题得以解决．

解答 证明：（1）连接KN，由于K、N为CD，C₁D₁的中点，
所以KN平行且等于AA₁，
AA₁KN为平行四边形⇒AN∥A₁K，
而A₁K?平面A₁MK，AN?平面A₁MK，
从而AN∥平面A₁MK．
（2）连接BC₁，由于M、K为AB、C₁D₁的中点，
所以：KC₁与MB平行且相等，
从而：KC₁MB为平行四边形，
所以：MK∥BC₁，
而：BC₁⊥B₁C，BC₁⊥A₁B₁，
从而：BC₁⊥平面A₁B₁C，
所以：MK⊥平面A₁B₁C．

点评 本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用，要注意其中的转化思想的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．