Question

7．若存在一数列的前n项为na_n，则称该数列为数列{a_n}的“一阶衍生数列”，记作{（a_n）₁}；同样的，若存在一数列的前n项和为n（a_n）₁，则称该数列为数列{a_n}的“二阶衍生数列”，记作{（a_n）₂}．记（a_m）_k为数列{a_n}的“k阶衍生数列”中的第m项．己知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（1）写出数列{（a₂）_n-1}的前四项；
（2）求证：对任意给定的m≥2且m∈N₊，数列{（a_m）_n-1}为等比数列．

Answer 1

分析 （1）根据新定义，从第一项一次往后写即可．
（2）结合第一归纳法，由猜想来验证即可．

解答 解：（1）由题意，易知（a₁）_n=a₁=1
（a₂）₁=2a₂-a₁=9，（a₂）₁-1=8
（a₂）₂=2（a₂）₁-a₁=17，（a₂）₁-1=16
（a₂）₃=2（a₂）₂-a₁=33，（a₂）₂-1=32
（a₂）₄=2（a₂）₃-a₁=65，（a₂）₂-1=64
（2）（a_n）₁=na_n-（n-1）a_n-1=8n-7，（n≥2）
∵（a₁）₁=1=8-7，∴（a_n）₁=8n-7，（n∈N₊）
（a_n）₂=n（a_n）₁-（n-1）（a_n-1）₁=6n-15，（n≥2）
∵（a₁）₂=1=8-7，∴（a_n）₂=16n-15，（n∈N₊）
猜想（a_n）_i=2ⁱ⁺²n-2ⁱ⁺²+1，（n∈N₊）
当i=1时，（a_n）₁=2¹⁺²n-2¹⁺²+1，（n∈N₊）成立
假设当i=k时，（a_n）_k=2^k+2n-2^k+2+1，（n∈N₊）成立
则当i=k+1时
（a_n）_k+1=n（a_n）_k-（n-1）（a_n-1）_k=n（2^k+2n-2^k+2+1）-（n-1）[2^k+2（n-1）-2^k+2+1]
=2^k+2n²-（2^k+2-1）n-2^k+2（n-1）²+（2^k+2-1）（n-1）
=2^k+1+2n-2^k+1+2+1（n≥2）
$（{a}_{1}）_{k+1}=1={2}^{k+1+2}-{2}^{k+1+2}+1$，即猜想成立，${（a}_{n}）_{i}={2}^{i+2}n-{2}^{i+2}+1，（n∈{N}_{+}）$
故对任意给定的m≥2且m∈N₊，$（{a}_{m}）_{n}={2}^{n+2}m-{2}^{n+2}+1，（n∈{N}_{+}）$
$（{a}_{m}）_{n}-1={2}^{n+2}m-{2}^{n+2}$=2ⁿ⁺²（m-1），（n∈N₊）
所以$\frac{（{a}_{m}）_{n+1}-1}{（{a}_{m}）_{n}-1}$=$\frac{{2}^{n+3}（m-1）}{{2}^{n+2}（m-1）}=2，（n∈{N}_{+}）$
即数列{（a_m）_n-1}为公比为2的等比数列

点评 本题考查新定义，以及对第一归纳法的考查．解题的关键是对新定义的理解．