Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的最大值是10，f（x）的图象经过点（0，5），且相邻两条对称轴间的距离是$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可求A，T，利用周期公式可求ω，又f（x）函数的图象经过点（0，5），结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，即可得解．
（Ⅱ）由函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到函数$g（x）=10sin（2x-\frac{π}{6}）$的图象，由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可得g（x）的增区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的最大值是10，∴A=10．…（1分）
又∵f（x）相邻对称轴间的距离是$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，∴T=π，∴ω=2．…（2分）
又∵f（x）函数的图象经过点（0，5），
$\begin{array}{l}∴10sinφ=5，|φ|＜\frac{π}{2}\\∴φ=\frac{π}{6}\end{array}$…（4分）
∴$f（x）=10sin（2x+\frac{π}{6}）$…（6分）
（Ⅱ）由函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到函数$g（x）=10sin（2x-\frac{π}{6}）$的图象． …（8分）
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，…（10分）
得 $-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$，可得，g（x）的增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]，k∈Z$．
∴$g（x）=10sin（2x-\frac{π}{6}）$的增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]，k∈Z$…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．