Question

12．已知函数f（x）=aln（x-a）-$\frac{1}{2}$x²+x（a＜0）．
（1）当a=-2时，求f（x）在[-$\frac{3}{2}$，2]上的最小值（参考数据：ln2=0.6931）；
（2）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入f（x），然后对 f（x） 进行求导，令 f′（x）=0，可得极值点，再与端点值进行比较，就可得出f（x）的最小值．
（2）对函数求导，令导函数为零，由只有一个可以确定两个极值为同号．

解答 解：（1）∵a=-2
∴f（x）=-2ln（x+2）-$\frac{1}{2}$x²+x
∴$f′（x）=\frac{-2}{x+2}-x+1$=$-\frac{{x}^{2}+x}{x+2}$
令f′（x）=0，x=0，x₂=-1
f（x）有两个极值f（0）=-2ln2，f（-1）=$-\frac{3}{2}$
f（x）两个端点处的值为f（2）=-2ln4=-4ln2，f（-$\frac{3}{2}$）=2ln2-$\frac{21}{8}$
∴f（x）的最小值为-4ln2
（2）定义域为（a，+∞）
f′（x）=$\frac{a}{x-a}-x+1$
=$-\frac{{x}^{2}-（a+1）x}{x-a}$
=$-\frac{x（x-a-1）}{x-a}$
令f′（x）=0．则x₁=0，x₂=a+1
∵f（x）有且仅有一个零点
则f（x）的两个极值均为正或负
f（0）=aln（-a）
f（a+1）=-$\frac{1}{2}$a²$+\frac{1}{2}$
∴f（0）-f（a+1）＞0
即aln（-a）（$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{2}$）＞0
即ln（-a）（a-1）（a+1）＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{ln（-a）＞0}\\{（a-1）（a+1）＞0}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{ln（-a）＜0}\\{（a-1）（a+1）＜0}\end{array}\right.$
由此得a＜-1或-1＜a＜0
∴a的范围是a＜-1或-1＜a＜0

点评 本题主要考察了对导数的求解和对只有一个零点的理解，属于经常接触的题目，可以记住此类型的对应结论．