Question

1．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）满足f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），且在区间（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）内有最大值但没有最小值，给出下列四个命题：
p₁：f（x）在区间[0，2π]上单调递减；
p₂：f（x）的最小正周期是4π；
p₃：f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称；
p₄：f（x）的图象关于点（$\frac{4π}{3}$，0）对称．
其中的真命题是p₂．

Answer 1

分析 根据条件f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），求出函数关于$\frac{11π}{3}$对称，利用函数的对称性求出ω的值，然后利用函数单调性，周期性，对称性的性质分别进行判断即可．

解答 解：∵f（$\frac{8π}{3}$）=f（$\frac{14π}{3}$），
∴函数关于x=$\frac{\frac{8π}{3}+\frac{14π}{3}}{2}$=$\frac{11π}{3}$对称，
∵在区间（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）内有最大值但没有最小值，
∴f（$\frac{11π}{3}$）=2，
即2cos（$\frac{11π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$）=2，
则$\frac{11π}{3}$ω+$\frac{π}{6}$=2kπ，
即$\frac{11π}{3}$ω=-$\frac{π}{6}$+2kπ，
则ω=$\frac{3}{11}$（2k-$\frac{1}{6}$），
∵在区间（$\frac{8π}{3}$，$\frac{14π}{3}$）内有最大值但没有最小值，
∴$\frac{14π}{3}$-$\frac{11π}{3}$≤$\frac{T}{2}$，
即T≥2π，
即$\frac{2π}{ω}$≥2π，则0＜ω≤1，
当k=0时，ω=-$\frac{3}{22}$不成立，
当k=1时，ω=$\frac{3}{11}$×（2-$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
当k=2时，ω=$\frac{3}{11}$×（2×2-$\frac{1}{6}$）=$\frac{23}{22}$＞1不成立，
故ω=$\frac{1}{2}$，
则f（x）=2cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$），
p₁：当0≤x≤2π，则0≤$\frac{1}{2}$x≤π，$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，此时函数f（x）不单调，故f（x）在区间[0，2π]上单调递减，错误；
p₂：f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π；正确；
p₃：当x=$\frac{π}{2}$时，f（$\frac{π}{2}$）=2cos（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{5π}{12}$不是最大值或最小值，即f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，错误；
p₄：当x=$\frac{4π}{3}$时，f（$\frac{4π}{3}$）=2cos（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{5π}{6}$≠0，则f（x）的图象关于点（$\frac{4π}{3}$，0）对称，错误．
故答案为：p₂

点评 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用三角函数的对称性求出ω的值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．