Question

9．已知f（x）=|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用函数的单调性求得f（x）的最小值为-2，再根据-2≥a²-3a，求得a的范围．
（Ⅱ）根据函数的单调性f（m）≤2，f（n）≤2，结合f（m）+f（n）=4，可得m＜n≤-$\frac{5}{2}$，由此求得m+n的范围．

解答 解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a²-3a恒成立，即|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|≥a²-3a恒成立．
由于f（x）=|$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$x|-|$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$x|=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x≥\frac{3}{2}}\\{-x-\frac{1}{2}，-\frac{5}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\\{2，x≤-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，故f（x）的最小值为-2，
∴-2≥a²-3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤-$\frac{5}{2}$，∴m+n＜-5．

点评 本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．