Question

19．设命题p：函数f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的定义域为R；命题q：x-x²＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：任意的x，ax²-x+$\frac{a}{16}$＞0恒成立，则：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得a范围．命题q：由于x-x²=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，利用二次函数的单调性可得$a＞\frac{1}{4}$．
由命题“p且q”为假命题，可得：p与q至少有一个为假，命题“p与q至少有一个为假”的非命题是：p与q都为真命题：则$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得a范围，进而得出．

解答 解：命题p：任意的x，ax²-x+$\frac{a}{16}$＞0恒成立，则：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞2，
命题q：∵x-x²=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，∴$a＞\frac{1}{4}$．
∵命题“p且q”为假命题，∴p与q至少有一个为假，
命题“p与q至少有一个为假”的非命题是：p与q都为真命题：则$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得a＞2．
由于p与q至少有一个为假，
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了对数函数与二次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．