Question

11．已知a，b，c是△ABC的三边，且b²-2a-$\sqrt{3}$b-2c=0，2a+$\sqrt{3}$b-2c+1=0，则△ABC的最大角的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 将已知两式子相加可解得：c=$\frac{{b}^{2}+1}{4}$，相减可得a=$\frac{{b}^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$=$\frac{（b-\sqrt{3}）^{2}}{4}$-1＞0，显然c＞a，解得：b＞2+$\sqrt{3}$，或b＜$\sqrt{3}-2$＜0（舍去），再由c-b=$\frac{{b}^{2}+1}{4}$-b=$\frac{（b-2）^{2}}{4}$＞0（b＞2+$\sqrt{3}$），可得最大边为c，由余弦定理可得：（$\frac{{b}^{2}+1}{4}$）²=（$\frac{{b}^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$）²+b²-2×$\frac{{b}^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$×b×cosC，化简可解得cosC的值．

解答 解：∵b²-2a-$\sqrt{3}$b-2c=0，①
2a+$\sqrt{3}$b-2c+1=0，②
∴①+②可解得：c=$\frac{{b}^{2}+1}{4}$，
①-②可解得：a=$\frac{{b}^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$=$\frac{（b-\sqrt{3}）^{2}}{4}$-1＞0，
∴显然c＞a，解得：|b-$\sqrt{3}$|＞2，即：b＞2+$\sqrt{3}$，或b＜$\sqrt{3}-2$＜0（舍去），
再比较c与b的大小．
∵c-b=$\frac{{b}^{2}+1}{4}$-b=$\frac{{b}^{2}+1-4b}{4}$=$\frac{（b-2）^{2}}{4}$＞0（b＞2+$\sqrt{3}$）．
∴c＞b，
∴最大边为c．
由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
即：（$\frac{{b}^{2}+1}{4}$）²=（$\frac{{b}^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$）²+b²-2×$\frac{{b}^{2}-2\sqrt{3}b-1}{4}$×b×cosC，
化简可得：cosC=$\frac{4b（\sqrt{3}-\sqrt{3}{b}^{2}+6b）}{8b（{b}^{2}-2\sqrt{3}b-1）}$，
解得：cosC=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，不等式解法的应用，根据三角函数的值求角，判断最大边为c，是解题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．