Question

3．已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 48π
• B． 52π
• C． $\frac{172}{3}$π
• D． $\frac{196}{3}$π

Answer 1

分析 由题意，四棱锥的底面是正方形，顶点到底面的距离为2$\sqrt{3}$，顶点在底面上的射影到中心的距离为4，设球心到底面的距离为h，则r²=（2$\sqrt{2}$）²+h²=4²+（2$\sqrt{3}$-h）²，求出r，即可求出球的表面积．

解答 解：由题意，四棱锥的底面是正方形，顶点到底面的距离为2$\sqrt{3}$，顶点在底面上的射影到中心的距离为4，
设球心到底面的距离为h，则r²=（2$\sqrt{2}$）²+h²=4²+（2$\sqrt{3}$-h）²，
∴h=$\frac{5}{\sqrt{3}}$，r²=$\frac{49}{3}$，
∴球的表面积为4πr²=$\frac{196}{3}$π．
故选：D．

点评 本题考查球的表面积，考查三视图，考查学生分析解决问题的能力，正确求出球的半径是关键．