Question

12．已知cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，向量$\overrightarrow{b}$为单位向量，向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{nπ}{7}$，sin$\frac{nπ}{7}$）（n∈N^*），则|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$+$\overrightarrow{b}$|²+…+|$\overrightarrow{{a}_{141}}$+$\overrightarrow{b}$|²的最大值为（　　）

• A． 284
• B． 285
• C． 286
• D． 287

Answer 1

分析 根据题意写出y的表达式，再设出$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ），计算出$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{141}}$的结果，然后代入，运用正弦函数的值域，求出函数的最大值，进而得到答案．

解答 解：由向量$\overrightarrow{b}$为单位向量，可设$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ），
$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{nπ}{7}$，sin$\frac{nπ}{7}$），可得$\overrightarrow{{a}_{n}}$²=$\overrightarrow{b}$²=1，
则y=|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$+$\overrightarrow{b}$|²+…+|$\overrightarrow{{a}_{141}}$+$\overrightarrow{b}$|²
=（$\overrightarrow{{a}_{1}}$²+$\overrightarrow{{a}_{2}}$²+…+$\overrightarrow{{a}_{141}}$²）+（$\overrightarrow{b}$²+$\overrightarrow{b}$²+…+$\overrightarrow{b}$²）+2$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{141}}$）
=141+141+2（cosθ，sinθ）•（cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{2π}{7}$+…+cos$\frac{141π}{7}$，sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{141π}{7}$），
由cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{2π}{7}$+…+cos$\frac{141π}{7}$=（cos$\frac{π}{7}$+cos$\frac{2π}{7}$+…+cos$\frac{14π}{7}$）+…+cos$\frac{141π}{7}$
=0×10+cos$\frac{π}{7}$=cos$\frac{π}{7}$，同理可得sin$\frac{π}{7}$+sin$\frac{2π}{7}$+…+sin$\frac{141π}{7}$=sin$\frac{π}{7}$，
即有y=282+2（cosθcos$\frac{π}{7}$+sinθsin$\frac{π}{7}$）=282+2cos（θ-$\frac{π}{7}$），
当cos（θ-$\frac{π}{7}$）=1，即θ=2kπ+$\frac{π}{7}$，k∈Z时，取得最大值284．
故选A．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，解决此类问题的关键是熟练掌握向量的有关基本运算以及有关三角恒等变换的运算．