Question

2．圆C过点A（6，4），B（1，-1），且圆心在直线l：x-5y+7=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（7，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，代入坐标，可得圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）利用代入法，求线段PQ中点M的轨迹方程．

解答 解：（1）设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²．由题意得$\left\{\begin{array}{l}{（6-a）^{2}+（0-b）^{2}={r}^{2}}\\{（1-a）^{2}+（5-b）^{2}={r}^{2}}\\{2a-7b+8=0}\end{array}\right.$----------2分
解得a=3，b=2，r=$\sqrt{13}$--------------4分
所以所求圆的方程是（x-3）²+（y-2）²=13．---------------------5分
（2）设线段PQ的中点M（x，y），P（x₀，y₀）
M为线段PQ的中点，则x₀=2x-8，y₀=2y，-----------------------------（8分）
P（2x-8，2y）代入圆C中得（2x-7-3）²+（2y-2）²=13--------------9分
即线段PQ中点M的轨迹方程为（x-5）²+（y-1）²=$\frac{13}{4}$．-----------10分．

点评 本题考查圆的方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．