Question

14．华师一“长飞班”由m位同学组成，学校专门安排n位老师作为指导老师，在该班级的一次活动中，每两位同学之间相互向对方提一个问题，每位同学又向每位指导老师各提出一个问题，并且每位指导老师也向全班提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了51个问题，则m+n=9．

Answer 1

分析 首先得出m（m-1）+mn+n=51，进而分析得出△=（n-3）²+196，利用题意可得△必为完全平方数，则得出n-3+k与n-3-k可能的值，求出即可．

解答 解：由题意得m（m-1）+mn+n=51，
化简得：m²+（n-1）m+n-51=0，
故△=（n-1）²-4（n-51）=n²-6n+205=（n-3）²+196，
∵m∈N^*，
∴△必为完全平方数，
设（n-3）²+196=k²（k为自然数），则（n-3+k）（n-3-k）=-196，
其中n-3+k与n-3-k具有相同的奇偶性，且n-3+k≥n-3-k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-3+k=2}\\{n-3-k=-98}\end{array}\right.$（1）或$\left\{\begin{array}{l}{n-3+k=98}\\{n-3-k=-2}\end{array}\right.$（2）或$\left\{\begin{array}{l}{n-3+k=14}\\{n-3-k=-14}\end{array}\right.$（3），
由（1）得：n=-45（舍），
由（2）得：n=51，此时原方程为m²+50m=0，解得m₁=-50，m₂=0（舍），
由（3）得n=3，此时原方程为m²+2m-48=0，解得m₁=6，m₂=-8（舍），
∴m=6，n=3．
∴m+n=9，
故答案为：9．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及其解法，得出n-3+k与n-3-k可能的值是解题关键．