Question

19．已知圆C：x²+y²-2x+6y+8=0
（Ⅰ）若圆C的不过原点的切线在两坐标轴上的截距相等，求切线方程
（Ⅱ）从圆C外一点P（x，y）引圆的切线PQ，点Q为切点，O为坐标原点，且满足|PQ|=|OP|，当|PQ|最小时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可设所求直线方程为：x+y=a，且a≠0，由相切可得方程，解出即可；
（Ⅱ）由两点间距离公式及切线长公式，可把|PQ|=|OP|，化为（x-1）²+（y+3）²-2=x²+y²，整理得：x-3y-4=0，从而$|{PQ}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{10{y^2}+24y+16}$，借助二次函数的性质可求．

解答 解：（I）圆心C（1，-3），半径$r=\sqrt{2}$-----（1分）
由题意可设所求直线方程为：x+y=a，且a≠0，
$d=\frac{{|{x+y-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{1-3-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$-----（4分）
解得a=-4或a=0舍．所求直线方程为：x+y+4=0-----（6分）
（II）由$|{OP}|=|{PQ}|=\sqrt{P{C^2}-{r^2}}$，从而有（x-1）²+（y+3）²-2=x²+y²，整理得：x-3y-4=0-----（8分）
则$|{PQ}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{10{y^2}+24y+16}$-----（9分）
当$y=-\frac{6}{5}$时，|PQ|最小，此时点P的坐标为$（{\frac{2}{5}，-\frac{6}{5}}）$-----（12分）

点评 该题考查圆的方程、性质，考查直线与圆的位置关系，考查与圆有关的最值问题，考查转化思想．