Question

4．已知函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（0＜a＜1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）解不等式f（x）≥log_a（3x）．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的解析式，结合函数奇偶性的概念判断即可；
（2）根据函数的单调性，将不等式f（x）≥log_a（3x）化为：0＜$\frac{2+x}{2-x}$≤3x，解得答案；

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}2+x＞0\\ 2-x＞0\end{array}\right.$得：x∈（-2，2），
即函数的定义域（-2，2）关于原点对称，
又由f（-x）=log_a（2-x）-log_a（2+x）=-[log_a（2+x）-log_a（2-x）]=-f（x），
故函数f（x）为奇函数；
（2）∵0＜a＜1，
∴y=log_a（2+x）为减函数，y=log_a（2-x）为增函数，
故函数f（x）=log_a（2+x）-log_a（2-x）（0＜a＜1）为减函数，
则不等式f（x）≥log_a（3x）可化为：0＜$\frac{2+x}{2-x}$≤3x，
解得：x∈[$\frac{2}{3}$，1]．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．