Question

16．已知函数f（x）=x²+xsinx+cosx+1
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线是y=b，求a与b的值；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程即可得到a=0，b=2；
（Ⅱ）求得导数，求得单调区间和极值、最值，由题意可得b＞2．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+xsinx+cosx+1的导数为
f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=2x+xcosx，
即有在点（a，f（a））处的切线斜率为2a+acosa，
由切线为y=b，可得2a+acosa=0，a²+asina+cosa+1=b，
解得a=0，b=2；
（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=2x+xcosx=x（2+cosx），
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=0处取得极小值，且为最小值2．
曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，
可得b＞2．即为b的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，以及运算求解能力，属于中档题．