Question

3．设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=1-2S_n；将函数y=sinx在区间（0，+∞）内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a_n}．
（1）求{b_n}与{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n（n∈N^*），T_n为数列{c_n}的前n项和，若a²-2a＞4T_n恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式可得数列{b_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，再由函数y=sinx在区间（0，+∞）内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a_n}，可得{a_n}是以π为首项，以π为公差的等差数列，然后分别由等比数列和等差数列的通项公式得答案；
（2）把（1）中求得的数列的通项公式代入c_n=a_n•b_n，利用错位相减法求和后得到4T_n的最大值，代入a²-2a＞4T_n求解一元二次不等式得答案．

解答 解：（1）由b_n=1-2S_n，得${b}_{1}=\frac{1}{3}$，
且b_n+1=1-2S_n+1，∴b_n+1-b_n=-2b_n+1，
则$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{1}{3}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
则${b}_{n}=\frac{1}{{3}^{n}}$；
又函数y=sinx在区间（0，+∞）内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a_n}，
∴{a_n}是以π为首项，以π为公差的等差数列，
则a_n=π+π（n-1）=nπ；
（2）∵c_n=a_n•b_n=$\frac{nπ}{{3}^{n}}$，
∴${T}_{n}=\frac{π}{3}+\frac{2π}{{3}^{2}}+…+\frac{nπ}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}=\frac{π}{{3}^{2}}+\frac{2π}{{3}^{3}}+…+\frac{（n-1）π}{{3}^{n}}+\frac{nπ}{{3}^{n+1}}$，
两式作差得：$\frac{2}{3}{T}_{n}=\frac{π}{3}+\frac{π}{{3}^{2}}+…+\frac{π}{{3}^{n}}-\frac{nπ}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{π}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{nπ}{{3}^{n+1}}$=$\frac{π}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{nπ}{{3}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=\frac{3}{4}π（1-\frac{1}{{3}^{n}}）-\frac{nπ}{2•{3}^{n}}$=$\frac{3π}{4}-\frac{π}{4•{3}^{n-1}}-\frac{nπ}{2•{3}^{n}}$$＞\frac{3π}{4}$．
由a²-2a＞4T_n恒成立，得a²-2a＞3π恒成立，
即a²-2a-3π＞0，解得：a$＜1-\sqrt{1+3π}$或a$＞1+\sqrt{1+3π}$．
∴实数a的取值范围是（-∞，1-$\sqrt{1+3π}$）∪（1+$\sqrt{1+3π}$，+∞）．

点评 本题考查等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的通项公式，训练了恒成立问题的求法，是中档题．