Question

14．已知y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，那么$\frac{y}{x+1}$的取值范围是$[0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 由2x-x²≥0，解得0≤x≤2．y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的定义域为[0，2]．两边平方可得：（x-1）²+y²=1．画出图象：则$\frac{y}{x+1}$表示半圆上的点（x，y）与（-1，0）连线的斜率．再利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答 解：由2x-x²≥0，解得0≤x≤2．
∴y=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$的定义域为[0，2]．
两边平方可得：（x-1）²+y²=1．
画出图象：
则$\frac{y}{x+1}$表示半圆上的点（x，y）与（-1，0）连线的斜率．
当经过点（-1，0）的直线y=k（x+1）（k＞0）与圆相切时，可得$\frac{|k-0+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
那么$\frac{y}{x+1}$的取值范围是$[0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．
故答案为：$[0，\frac{\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查了直线与圆相切性质、点到直线的距离公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．