Question

4．已知函数f（x）=ax²+bx+1具有以下性质：
①对任意实数x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）时，满足x₁+x₂=2．
②对任意x₁，x₂∈（1，+∞）上，总有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．
则方程ax²+bx+1=0根的情况是（　　）

• A． 无实数根
• B． 有两个不等正根
• C． 有两个异号实根
• D． 有两个相等正根

Answer 1

分析 由①可得二次函数的对称轴，由②可得，x＞1时，f（x）递减，求得a＜0，b＞0，求得判别式大于0，运用韦达定理，即可得到结论．

解答 解：由①可得，对称轴为x=1，
即有b=-2a；
由②可得，x＞1时，函数f（x）的图象上凸，函数递减．
即有a＜0，b＞0，判别式△=b²-4a=4a（a-1）＞0，
设两根为x₁，x₂，即有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$＞0，x₁x₂=$\frac{1}{a}$＜0，
则方程ax²+bx+1=0根的情况是有两个异号的实根．
故选：C．

点评 本题考查二次函数的对称性和单调性的运用，考查二次方程韦达定理的运用，属于中档题．