Question

9．已知tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，且α、β∈（0，π）．
（1）求tanα的值；
（2）求2α-β的值．

Answer 1

分析 （1）由tanα=tan[（α-β）+β]，利用正切加法定理能求出结果．
（2）先利用二倍角公式求出tan（2α-2β）=$\frac{4}{3}$，由此利用tan（2α-β）=tan（2α-2β+β）求出tan（2α-β）=1，由此能求出2α-β．

解答 解：（1）∵tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，且α、β∈（0，π），
∴tanα=tan[（α-β）+β]=$\frac{tan（α-β）+tanβ}{1-tan（α-β）tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{7}}{1+\frac{1}{2}×\frac{1}{7}}$=$\frac{1}{3}$．
（2）tan（2α-2β）=$\frac{2tan（α-β）}{1-ta{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
tan（2α-β）=tan（2α-2β+β）=$\frac{tan（2α-2β）+tanβ}{1-tan（2α-2β）tanβ}$=1
∵α、β∈（0，π），tanβ=-$\frac{1}{7}$，∴β∈（$\frac{π}{2}$，π）
tanα=tan（α-β+β）=$\frac{1}{3}$，
∴α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α-β∈（-π，0），
tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，∴α-β∈（-π，-$\frac{π}{2}$）
2α-β=α-β+α∈（-π，0）
又tan（2α-β）=1
∴2α-β=-$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正切函数加法定理的合理运用．