Question

7．正项数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n²+3a_n=6S_n+4
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将n换为n+1，相减，分解因式，结合条件可得a_n+1-a_n=3，再由等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）求得${b_n}={2^n}{a_n}=（3n+1）•{2^n}$，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）由$a_n^2+3{a_n}=6{S_n}+4$…①，
可得$a_{n+1}^2+3{a_{n+1}}=6{S_{n+1}}+4$…②，
由②-①得$a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}=6{S_{n+1}}-6{S_n}=6{a_{n+1}}$，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n-3=0，
即a_n+1-a_n=3，
又$a_1^2+3{a_1}=6{S_1}+4=6{a_1}+4$，
即$a_1^2-3{a_1}-4=（{a_1}-4）（{a_1}+1）=0$，
∵a_n＞0，∴a₁=4，
∴{a_n}是4为首项，3为公差的等差数列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1；
（2）${b_n}={2^n}{a_n}=（3n+1）•{2^n}$，
故${T_n}=4•{2^1}+7•{2^2}+10•{2^3}+…+（3n+1）•{2^n}$，
$2{T_n}=\;4•{2^2}+7•{2^3}+10•{2^4}+…+（3n+1）•{2^{n+1}}$，
两式相减可得-T_n=8+3（4+8+…+2ⁿ）-（3n+1）•2ⁿ⁺¹，
=2+3（2+4+8+…+2ⁿ）-（3n+1）•2ⁿ⁺¹
=${2^1}+3•\frac{{2（{2^n}-1）}}{2-1}-（3n+1）•{2^{n+1}}$
=-（3n-2）•2ⁿ⁺¹-4，
∴${T_n}=（3n-2）•{2^{n+1}}+4$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标相减和等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．