Question

设向量

a

=(4cosα，sinα)，

b

=(sinβ，4cosβ)，

c

=(cosβ，-4sinβ)
（1）若

a

与

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

b

+

c

|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：

a

∥

b

．

Answer 1

分析：（1）先根据向量的线性运算求出

b

-2

c

，再由

a

与

b

-2

c

垂直等价于

a

与

b

-2

c

的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．
（2）先根据线性运算求出

b

+

c

，然后根据向量的求模运算得到|

b

+

c

|的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．
（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是

a

∥

b

的充要条件，从而得证．

解答：解：（1）∵

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），

a

与

b

-2

c

垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．
（2）∵

b

+

c

=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ

=

17-15sin2β

，
∴当sin2β=-1时，|

b

+

c

|取最大值，且最大值为

32

=4

2

．
（3）∵tanαtanβ=16，∴

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，
即

a

=（4cosα，sinα）与

b

=（sinβ，4cosβ）共线，
∴

a

∥

b

．

点评：本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．