Question

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为-y²=1，n=3．点P₁（3，0） 及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）．点P₁（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差数列；
（3）若C的方程为（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

符号意义	本试卷所用符号	等同于《实验教材》符号
向量坐标	={x，y}	=（x，y）
正切	tg	tan

Answer 1

解：（1）a₁=|OP₁|²=9，由S₃=（a₁+a₃）=162，得a₃=|OP₃|³=99．
由得
∴点P₃的坐标可以为（3，3）．
（2）对每个自然数k，1≤k≤n，由题意|OP_k|²=（k-1）d，
及
即（x_k+p）²=p²+（k-1）d，
∴（x₁+p）²，（x₂+p）²，…（x_n+p）²是首项为p²，公差为d的等差数列．
（3）原点O到二次曲线
C：（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a₁=|OP₁|²=a²，∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+（n-1）d≥b²，
∴≤d＜0．∵n≥3，＞0
∴S_n=na²+d在[，0）上递增，
故S_n的最小值为na²+•=．
分析：（1）利用条件求出a₃的值．再联立二次曲线求出点P₃的坐标即可．
（2）先利用定义求出|OP_k|²，再联立二次曲线求出（x_k+p）²表达式，就可下结论．
（3）先求出原点O到二次曲线上各点的最小距离和最大距离；再利用定义求出a_n的通项以及S_n的表达式，利用公差d的范围，求出S_n的最小值即可．
点评：本题是对数列和函数以及二次曲线的综合考查．其中涉及到了等差数列的证明，数列的求和等知识点，是一道不太容易的题．