Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点和定直线的距离相等.

（1）求动点E的轨迹C的方程；

（2）设动直线与曲线C有唯一的公共点P，与直线相交于点Q，若，求证：点M的轨迹恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）设出动点E的坐标为（x，y），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；

（2）联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由证得答案．

（1）解：由抛物线定义可知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，以x＝﹣1为准线的抛物线，其方程为：y2＝4x；

（2）证明：由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．

由题意可知，直线l与抛物线相切，

∴△＝16﹣16kb＝0，即b．

∴直线l的方程为y＝kx．

令x＝﹣1，得y＝﹣k，

∴Q（﹣1，﹣k），

设切点坐标P（x0，y0），则，

解得：P（，），

设M（m，0），

则（m，）（m+1，k）＝（m）（m+1）

mm22＝（m﹣1）（m﹣2）．

当m＝1时，．

故点M的轨迹恒过定点（1，0）．