Question

【题目】如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（Ⅱ）由已知条件可知，然后利用面面垂直的性质定理可证明出平面，即可得出；

（Ⅲ）以为原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）在中，、分别为、的中点，所以为中位线，所以.

又因为平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）在等腰直角三角形中，，所以.

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

又因为平面，所以；

（Ⅲ）在平面内过点作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，

因为平面，所以.

如图，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.

，，.

设平面的法向量为，则，即.

令则，，所以.

直线与平面所成角大小为，.

所以直线与平面所成角的正弦值为.