Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x+1）2，令f1（x）=f'（x），fn+1（x）=fn'（x），若fn（x）=ex（anx2+bnx+cn），记数列{}的前n项和为Sn，则下列选项中与S2019的值最接近的是( )

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

经过求导可得：an=1，bn=2n，cn=n（n+1）+1. 所以.通过放缩，利用裂项相消法求和，即可得解.

由f（x）=ex（x+1）2=ex（x2+2x+1），

得f1（x）=f′（x）=ex（x2+4x+3），

f2（x）=f1'（x）=ex（x2+6x+7），

f3（x）=f2'（x）=ex（x2+8x+13），

…

fn+1（x）=fn'（x）=ex[x2+2（n+1）x+（n+1）（n+2）+1].

又fn（x）=ex（anx2+bnx+cn），

∴an=1，bn=2n，cn=n（n+1）+1.

∴.

令dn（n2），

则S2019=d1+d2+d3+…+dn.

∴与S2019的值最接近的是.

故选：A.