Question

已知抛物线y²=4x，直线l：y=kx+2（k＞0）与抛物线C交于M、N两点，与x轴交于点A，H 为MN的中点，O为坐标原点．
（1）判断直线OH与直线2x-y-2

3

=0是否平行，并说明理由；
（2）设点Q在x轴上，记以QM、QN为邻边的棱形面积为S₁，三角形AHQ的面积为S₂，

S1

(2-k)S2

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点H（x₀，y₀）．把直线与抛物线方程联立化为k²x²+（4k-4）x+4=0，由于△＞0，可得0＜k＜

1

2

．利用中点坐标公式可得H坐标，k_OH=

k

1-k

，利用k_OH=2解出并判定即可得出．
（2）由（1）可得H(

2-2k

k2

，

2

k

)，利用弦长公式可得|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 (1+k2)(1-2k)

k2

．利用菱形的性质可得QH⊥l．可得直线QH的方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，可得Q(

2k2-2k+2

k2

，0)．利用点到直线的距离公式可得|QH|=

2 1+k2

k

．S₁=|MN|•|QH|=

8(1+k2) 1-2k

k3

．S₂=

1

2

|QA|•y_H．即可得出

S1

(2-k)S2

=

4 1-2k

2-k

=f（k）.0＜k＜

1

2

．利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点H（x₀，y₀）．
联立

y=kx+2 y2=4x

，化为k²x²+（4k-4）x+4=0，
△＞0，16（k-1）²-16k²＞0，解得0＜k＜

1

2

．
x₁+x₂=

4-4k

k2

=2x₀，
∴x₀=

2-2k

k2

，y0=

k(2-2k)

k2

+2=

2

k

，
∴k_OH=

k

1-k

，
当

k

1-k

=2，解得k=

2

3

，不满足△＞0，
因此直线OH与直线2x-y-2

3

=0不平行．
（2）由（1）可得H(

2-2k

k2

，

2

k

)，
|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 16(1-k)2 k4 -4× 4 k ]

=

4 (1+k2)(1-2k)

k2

．
∵点Q是菱形的一个顶点，∴QH⊥l．
∴kQH=-

1

k

．
∴直线QH的方程为y-

2

k

=-

1

k

(x-

2-2k

k2

)，
令y=0，可得x=

2k2-2k+2

k2

．
∴Q(

2k2-2k+2

k2

，0)．
∴|QH|=

| 2k2-2k+2 k +2|

1+k2

=

2 1+k2

k

．
∴S₁=|MN|•|QH|=

8(1+k2) 1-2k

k3

．
|QA|=

2k2+2

k2

．
∴S₂=

1

2

|QA|•y_H=

1

2

×

2k2+2

k2

×

2

k

=

2k2+2

k3

．
∴

S1

(2-k)S2

=

4 1-2k

2-k

=f（k）.0＜k＜

1

2

．
∴f′（k）=

-4(1+k)

1-2k (2-k)2

＜0．
∴函数f（k）单调递减，∴f(

1

2

)＜f(k)＜f(0)，
∴0＜f（k）＜2．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、菱形的面积计算公式，考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．