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已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2),今年新增的年销量(单位:万件)与(2-x)2成正比,比例系数为4.
(1)写出今年商户甲的收益y(单位:万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式;
(2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?说明理由.

(1)y=4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2)(2)不能

解析试题分析:(1)根据收益等于单件利润与销售量的乘积,列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和,另外还要注意交代函数定义域;y=[1+4(x-2)2](x-1)=4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2).(2)本题实际需求本年收益范围,即需求函数y=4x3-20x2+33x-17,1≤x≤2的值域,这可借助于导数研究.
求导后可知函数图像先增后减再增,因此其最大值在极大值及处取到,比较大小知f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(2)=1,即为往年的收益,所以商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.
试题解析:解 (1)由题意知,今年的年销售量为1+4(x-2)(万件).
因为每销售一件,商户甲可获利(x-1)元,所以今年商户甲的收益y=[1+4(x-2)2](x-1)
=4x3-20x2+33x-17,(1≤x≤2).  4分
(2)由(1)知y=4x3-20x2+33x-17,1≤x≤2, 从而y′=12x2-40x+33=(2x-3)(6x-11).
令y′=0,解得x=,或x=.列表如下:

x
(1,)

()

(,2)
f ′(x)

0

0

f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
 7分
又f()=1,f(2)=1,所以f(x)在区间[1,2]上的最大值为1(万元).
而往年的收益为(2-1)×1=1(万元),
所以,商户甲采取降低单价,提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益.
10分
考点:函数解析式,利用导数求函数最值

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