Question

在正△ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE∶EB=CF∶FA=CP∶PB=1∶2如图（1）.将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁—EF—B成直二面角，连结A₁B、A₁P如图（2）.

（1）求证：A₁E⊥平面BEP；

（2）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小；

（3）求二面角B—A₁P—F的大小（用反三角函数值表示）.

              （1）                             （2）

Answer 1

解析:不妨设正△ABC的边长为3.

（1）证明：在图甲中，取BE的中点D，连结DF.

∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60°，

∴△ADF是正三角形.又AE=DE=1，∴EF⊥AD.

    在图乙中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，

∴∠A₁EB为二面角A₁—EF—B的平面角,

    由题设条件知此二面角为直二面角，

∴A₁E⊥BE.

    又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，

    即A₁E⊥平面BEP.

（2）解：在图乙中，∵A₁E不垂直于A₁B，

∴A₁E是平面A₁BP的斜线.

    又A₁E⊥平面BEP，∴A₁E⊥EP，

    从而BP垂直于A₁E在平面A₁BP内的射影（三垂线定理的逆定理）.

    设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，则

∠EA₁Q就是A₁E与平面A₁BP所成的角，且BP⊥A₁Q.

    在△EBP中，∵BE=BP=2,∠EBP=60°,

∴△EBP是等边三角形.∴BE=EP.

    又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A₁P.

∴Q为BP的中点，且EQ=.

    又A₁E=1，在Rt△A₁EQ中，tanEA₁Q=,∴∠EA₁Q=60°.

∴直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60°.

（3）解：在图丙中，过F作FM⊥A₁P于M，连结QM，QF.

∵CF=CP=1，∠C=60°,∴△FCP是正三角形.

∴PF=1.

又PQ=BP=1，∴PF=PQ.                                            ①

∵A₁E⊥平面BEP，EQ=EF=，∴A₁F=A₁Q.∴△A₁FP≌△A₁QP,

    从而∠A₁PF=∠A₁PQ.                                             ②

    由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,

∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，

    从而∠FMQ为二面角B—A₁P—F的平面角，

    在Rt△A₁QP中，A₁Q=A₁F=2，PQ=1，∴A₁P=.

∵MQ⊥A₁P,∴MQ=，∴MF=.

在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°,

由余弦定理得QF=.

    在△FMQ中，cosFMQ=.

∴二面角B—A₁P—F的大小为π-arccos.